Общие принципы построения графиков

При построении графиков функций невозможно обойтись без общих подходов, таких как общие свойства функций: четность, нечетность, периодичность, - а также исследование поведения функции на бесконечности и вблизи точек несуществования функции. Причем, исследование функции в окрестности этих точек и на бесконечности имеет, как правило, арифметический характер.

Напомним определение основных свойств функции.

Определение.
Функция y=f(x) называется четной, если
1) область определения этой функции симметрична относительно нуля на числовой прямой, т.е. для любого xDf (область определения функции) -x Df
2) для любого xDf     f(-x)= f(x).

Из определения следует, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Примеры четных функций: y=x², y=cos(x).

Определение.
Функция y=f(x) называется нечетной, если
1) область определения этой функции симметрична относительно нуля на числовой прямой, т.е. для любого xDf     -x Df
2) для любого xDf     f(-x)=- f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры нечетных функций: y=x³, y=sin(x).

Заметим, что сами понятия: четная, нечетная функции первоначально связаны со свойствами степенной функцииy=xⁿ . При четном n степенная функция четная, а при нечетном n – нечетная.

Определение.
Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число T, что
1) для любого xDf     (x+T)Df,     (x-T)Df    
2) для любого xDf     f(x+T)= f(x-T)= f(x).

Наименьшее из всех таких чисел T называется основным периодом функции y=f(x).

Примеры четных функций: y=sin(x) период T= 2π, y=tg(x) период T=π.

При построении графиков используется следующая теорема.

Теорема.
Если y=f(x) периодическая функция с периодом T, то функция y=f(kx+b) - периодическая с периодом , при k≠0.

Из определения периодической функции следует, что построения ее графика достаточно выполнить на любом отрезке длинны T, например[ 0, T ] или , где T – период функции, а в остальных точках значения функции «повторяются». Это существенно упрощает исследование, нахождение точек экстремума, точек разрыва, и поведение функции вблизи этих точек. Например, построение графика функции y=sin²x-sinx достаточно выполнить на отрезке [0,2π], так как T=2π, очевидно, является периодом этой функции. А при построении графика y=cos²x+cosx достаточно ограничиться отрезком [0,π], так как кроме периодичности с периодом T=2π функция обладает свойством четности, что в два раза сокращает отрезок исследования.

При построении графиков элементарных функций используется еще один основополагающий принцип, который явно не упоминают: элементарная функция непрерывна всюду в области определения.

При построении графиков дробно-рациональных функций, т.е. функций вида , где и - многочлены степеней n и m соответственно, большую роль играет поведение функции на и в окрестности точек обращающих знаменатель дроби в нуль.

Подробнее эту ситуацию рассмотрим в теме "Графики дробно-линейной и дробно-рациональной функций".