Задание:

Постройте график функции

Решение:

Раскрываем модули: при , при (точка 2 не входит в этот промежуток ,так как при х=2 знаменатель функции обращается в ноль), при . Строим каждую из гипербол на указанных промежутках.

Если не прибегать к алгебраическим вычислениям, то такой же результат можно получить с помощью графических построений.

Итак, сначала посмотрим, как будет выглядеть график числителя.

Для этого построим график функции у=х.
Далее строим график модуля этой функции, вспоминая, что у при этом может принимать только положительные значения. Затем опускаем график на 1 единицу вниз.
Получили график у=|х| - 1.

Теперь в этой же системе координат синим цветом построим график знаменателя.

Для этого сначала построим синим цветом график у=х. Поднимем его на 2 единицы вверх.
Получили график у=х + 2.
Далее строим график модуля этой функции. Рассматривая эти графики, обратим внимание на то, что на участках и прямые, образующие графики модулей, параллельны, а на участке - нет. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Строим график частного.

Выделим желтым цветом участок . На этом участке выполняем графическое деление.
Мы получили гиперболу. Обратим внимание на то, что при х → - ∞    y → 1 (так как при больших значениях х по абсолютной величине ординаты зеленого и синего графиков отличаются незначительно), а при х → - 2    y → + ∞ (так как ордината синего графика стремится к нулю).
Теперь выделим желтым цветом участок . На этом участке выполняем графическое деление.
Мы получили гиперболу. Обратим внимание на то, что при х → - 2    y → + ∞ (так как ордината синего графика стремится к нулю) ,а при х → 0    y → = 1/2 .
Теперь выделим желтым цветом участок . На этом участке выполняем графическое деление.
Мы получили гиперболу. Обратим внимание на то, что при х= 0    y== 1/2, а при х → + ∞    y → 1 (так как при больших значениях х ординаты зеленого и синего графиков отличаются незначительно).
Итак, мы получили такой же график, как и при решении алгебраическим методом.